Question

【題目】給出下列4個命題，其中正確命題的個數是（ ）
①計算：9192除以100的余數是1；
②命題“x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“x＞0，x﹣lnx≤0”；
③y=tanax（a＞0）在其定義域內是單調函數而且又是奇函數；
④命題p：“|a|+|b|≤1”是命題q：“對任意的x∈R，不等式asinx+bcosx≤1恒成立”的充分不必要條件．
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①由于9192=（100﹣9）92=C92010092（﹣9）0+…+C92911001（﹣9）91+C92921000（﹣9）92 ，
在此展開式中，除了最后一項外，其余的項都能被100整除，故9192除以100的余數等價于C92921000（﹣9）92=992除以100的余數，而992=（10﹣1）92=C9201092（﹣1）0+…+C9291101（﹣1）91+C9292100（﹣9）92 ， 故992除以100的余數等價于C9291101（﹣1）91+C9292100（﹣9）92除以100的余數，而C9291101（﹣1）91+C9292100（﹣9）92=﹣919=﹣10×100+81，故9192除以100的余數是81．不正確．故①錯誤；
②命題“x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“x＞0，x﹣lnx≤0”，正確；
③y=tanax（a＞0）在其定義域內不是單調函數，是奇函數；故③錯誤，
④當a=b=0時，不等式asinx+bcosx≤1恒成立．
a與b不全為0時，不等式asinx+bcosx≤1化為：sin（x+θ）≤ ，
∵對任意的x∈R，不等式asinx+bcosx≤1恒成立”，
∴ ≥1，
∴a2+b2≤1，畫出圖象：可知：（a，b）表示的是以原點為圓心，1為半徑的圓及其內部．
而|a|+|b|≤1可知：（a，b）表示的是正方形ABCD及其內部．
∴p是q的充分不必要條件．故④正確，
故選：B

【考點精析】掌握命題的真假判斷與應用是解答本題的根本，需要知道兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．