Question

在區(qū)間[a，b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a，b]．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閒（x）對(duì)稱軸為x=0
若0≤a＜b，則f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，
所以f（a）=2b，f（b）=2a，
于是，
解得[a，b]=[1，3]．
（2）若a＜b≤0，則f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，
所以f（a）=2a，f（b）=2b，
于是，方程兩根異號(hào)，
故不存在滿足a＜b≤0的a，b．
（3）若a＜0＜b，則f（x）在[a，0]上單調(diào)遞增，在[0，b]上單調(diào)遞減，
所以．
所以，
又a＜0，所以，
故f（x）在x=a處取得最小值2a，即，得，
所以．
綜上所述，[a，b]=[1，3]或．
分析：求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，通過(guò)對(duì)區(qū)間與對(duì)稱軸x=0的位置關(guān)系分三類，求出二次函數(shù)f（x）的最值，列出方程組，求出a，b的值．
點(diǎn)評(píng)：解決二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性、最值問(wèn)題，應(yīng)該先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系來(lái)解決．