Question

定義：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），滿足f(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

，則稱x₀是函數y=f（x）在區間[a，b]上的一個均值點．已知函數f（x）=-x²+mx+1在區間[-1，1]上存在均值點，則實數m的取值范圍是

（0，2）

．

Answer 1

分析：函數f（x）=-x²+mx+1是區間[-1，1]上的平均值函數，故有-x²+mx+1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

在（-1，1）內有實數根，求出方程的根，讓其在（-1，1）內，即可求出實數m的取值范圍．

解答：解：∵函數f（x）=-x²+mx+1在區間[-1，1]上存在均值點，
∴關于x的方程-x²+mx+1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

在（-1，1）內有實數根．
由-x²+mx+1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

⇒x²-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1），
∴x=m-1必為均值點，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．
∴所求實數m的取值范圍是（0，2），
故答案為：（0，2）．

點評：本題主要是在新定義下考查二次方程根的問題．在做關于新定義的題目時，一定要先認真的研究定義理解定義，再按定義做題．