Question

已知P（2，0），點Q（x，y）滿足

x-2y+2≥0 y≥|x|

，目標函數z=2x-y的最小值、最大值分別為a，b，則|

PQ

|cos∠OPQ（O為原點）的取值落在區間[a，b]上的概率為

2

3

．

Answer 1

分析：先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x-y表示直線在y軸上的截距的相反數，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大最小值即可得到區間[a，b]；再結合|

PQ

|cos∠OPQ（O為原點）求出其所在的區間，最后利用幾何概型的計算公式求解即得．

解答：解：作出不等式組所表示的平面區域，如圖所示，由z=2x-y可得y=x-z，則-z表示目標函數直線在y軸上的截距
截距越大，則z越小，截距越小，z越大
作直線L：y=2x，然后把直線向可行域平移
由

x-2y+2=0 y=x

可得B（2，2），此時Z=2；
由

y=-x x-2y+2=0

可得A（-

2

3

，

2

3

），此時Z=2
易知最小值和最大值分別在點（-

2

3

，

2

3

）和（2，2）取得，[a，b]=[-2，2]，
又|

PQ

|cos∠OPQ（O為原點）表示

PQ

在x軸上射影的長度，故|

PQ

|cos∠OPQ∈[0，

8

3

]，
故概率為

8 3 -0

2-(-2)

=

2

3

．
故答案為：

2

3

．

點評：考查向量投影（或過兩點的斜率公式）、幾何概型，考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值的方法，屬于中檔試題．