Question

函數y=

2sinx

sinx+2

的值域為

[-2，

2

3

]

．

Answer 1

分析：利用分類變量法或利用三角函數的有界性求值域．

解答：解：方法1：分類變量法
因為y=

2sinx

sinx+2

=

2(sinx+2)-4

sinx+2

=2-

4

sinx+2

，
因為-1≤sinx≤1，所以1≤sinx+2≤3，
所以

1

3

≤

1

sinx+2

≤1，

4

3

≤

4

sinx+2

≤4，
所以-2≤2-

4

sin?x+2

≤

2

3

，即函數的值域為[-2，

2

3

]．
方法2：函數的性質法．
因為-1≤sinx≤1，所以y（sinx+2）=2sinx，
即（2-y）sinx=2y，
若y=2，則0=4不成立，所以y≠2．
所以sinx=

2y

2-y

，
因為-1≤sinx≤1，所以|

2y

2-y

|≤1，
解得-2≤y≤

2

3

，即函數的值域為[-2，

2

3

]．

點評：本題主要考查了函數的值域求法，利用三角函數的有界性是解決本題的關鍵，要求熟練掌握求函數值域的幾種常見方法．