Question

已知函數y=sin2x+2sinxsin(

π

2

-x)+3sin2(

3π

2

-x)
（1）若tanx=

1

2

，求y的值；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求y的值域．

Answer 1

分析：（1）由題意，由于已知tanx=

1

2

，故可先由誘導公式對函數進行化簡，再由商數關系將函數變為關于tanx的代數式，將正切值代入計算求y值；
（2）由題意，可先對函數解析式進行化簡，由三角恒等變換公式可將函數式變為y=2+

2

sin(2x+

π

4

)，再根據x∈[0，

π

2

]易求得函數的值域．

解答：解：（1）y=sin2x+2sinxsin(

π

2

-x)+3sin2(

3π

2

-x)
=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=

sin2x+2sinxcosx+3cos2x

sin2x+cos2x

=

tan2x+2tanx+3

tan2x+1

∵tanx=

1

2

∴y=

1 4 +1+3

1 4 +1

=

17

5

（2）由（1）y=sin2x+2sinxsin(

π

2

-x)+3sin2(

3π

2

-x)
=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=2+sin2x+cos2x=2+

2

sin(2x+

π

4

)
由于x∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
所以sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]
∴y的值域是[1，2+

2

]

點評：本題考查三角恒等變換的應用，考查了兩角和的正弦函數，正、余弦的二倍角公式，同角三角函數的基本關系，正弦型復合函數的值域的求法，本題涉及到的公式較多，體現了三角函數做題的特點，公式多，變形靈活，解題的關鍵是靈活運用三角函數公式進行化簡變形，然后再求值或求值域，本題考查了轉化的思想及運用公式進行計算的能力，是三角函數中有一定難度的題目．