Question

【題目】已知長方形ABCD如圖1中，AD= ，AB=2，E為AB中點，將△ADE沿DE折起到△PDE，所得四棱錐P﹣BCDE如圖2所示．

（Ⅰ）若點M為PC中點，求證：BM∥平面PDE；
（Ⅱ）當平面PDE⊥平面BCDE時，求三棱錐E﹣PCD的體積．

Answer 1

【答案】解：證明：（Ⅰ）取DP中點F，連結EF、FM，
∵△PDC中，點F、M分別是DP、PC的中點，
∴FM DC，又EB DC，
∴FM EB，∴FEBM是平行四邊形，∴BM∥EF，
又EF平面PDE，BM平面PDE，
∴BM∥平面PDE．
（Ⅱ）解：∵平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD=DE，
過P作PH⊥DE于H，∴PH⊥平面EBCD，
在Rt△PDE中，過P作PH⊥DE于H，∴PH⊥平面EBCD，
在Rt△PDE中，由題意得PH= ，
在Rt△DEC中，DE= =2，且DE=EC=2，
∴ = ，
∴三棱錐E﹣PCD的體積VE﹣PCD=VP﹣DEC= = = ．

【解析】（Ⅰ）取DP中點F，連結EF、FM，推導出FEBM是平行四邊形，從而BM∥EF，由此能證明BM∥平面PDE．（Ⅱ）過P作PH⊥DE于H，則PH⊥平面EBCD，三棱錐E﹣PCD的體積VE﹣PCD=VP﹣DEC ， 由此能求出結果．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．