Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點．
（Ⅰ）證明：直線CE∥平面PAB；
（Ⅱ）點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：取PA的中點F，連接EF，BF，因為E是PD的中點，
所以EF AD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥ AD，
∴BCEF是平行四邊形，可得CE∥BF，BF平面PAB，CF平面PAB，
∴直線CE∥平面PAB；
（Ⅱ）解：四棱錐P﹣ABCD中，
側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，
∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點．
取AD的中點O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，設AD=2，則AB=BC=1，OP= ，
∴∠PCO=60°，直線BM與底面ABCD所成角為45°，
可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，
可得：1+ BN2=BN2 ， BN= ，MN= ，
作NQ⊥AB于Q，連接MQ，
所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=
= ，
二面角M﹣AB﹣D的余弦值為： = ．


【解析】（Ⅰ）取PA的中點F，連接EF，BF，通過證明CE∥BF，利用直線與平面平行的判定定理證明即可．
（Ⅱ）利用已知條件轉化求解M到底面的距離，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．