Question

【題目】已知函數f（x）=|x+1|． （I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；
（Ⅱ）設a，b∈M，證明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．

Answer 1

【答案】解：（I）不等式f（x）＜|2x+1|﹣1，即|x+1|＜|2x+1|﹣1， ∴ ①，或 ②，或 ③．
解①求得x＜﹣1；解②求得x∈；解③求得x＞1．
故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或 x＞1}．
（Ⅱ）證明：設a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，
則 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．
∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|
=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|
=|b||a+1|﹣|a+1|=|a+1|（|b|﹣1|）＞0，
故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立
【解析】（I）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由題意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化簡f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]為|a+1|（|b|﹣1|）＞0，從而證得不等式成立．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．