Question

【題目】已知圓，點，以線段為直徑的圓內切于圓，記點的軌跡為.

（1）求曲線的方程；

（2）若為曲線上的兩點，記， ，且，試問的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）取，連結，設動圓的圓心為，由兩圓相內切，得，又，從而得，由橢圓定義得橢圓方程；

（2）當軸時，易得，當與軸不垂直時，設直線的方程為，與橢圓聯立得，由，得，結合韋達定理得，由利用韋達定理求解即可.

試題解析：

（1）取，連結，設動圓的圓心為，∵兩圓相內切，

∴，又，

∴，

∴點的軌跡是以為焦點的橢圓，其中，∴，

∴，∴的軌跡方程為.

（2）當軸時，有， ，由，得，

又，∴， ，

∴.

當與軸不垂直時，設直線的方程為，

由得，

則， ，

由，得，∴，

整理得，

∴，

∴ ，

綜上所述， 的面積為定值.