【題目】設a≥0，f（x）=x﹣1﹣ln2x+2alnx（x＞0）． （Ⅰ）令F（x）=xf′（x），討論F（x）在（0，+∞）內的單調性并求極值；
（Ⅱ）求證：當x＞1時，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．
【答案】解：（Ⅰ）根據求導法則有 
， 故F（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x＞0，
于是 
，
∴知F（x）在（0，2）內是減函數，在（2，+∞）內是增函數，
所以，在x=2處取得極小值F（2）=2﹣2ln2+2a．
（Ⅱ）證明：由a≥0知，F（x）的極小值F（2）=2﹣2ln2+2a＞0．
于是知，對一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf'（x）＞0．
從而當x＞0時，恒有f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）內單調增加．
所以當x＞1時，f（x）＞f（1）=0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0．
故當x＞1時，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．
【解析】（1）先根據求導法求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間及極值即可．（2）欲證x＞ln2x﹣2a ln x+1，即證x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0，也就是要證f（x）＞f（1），根據第一問的單調性即可證得．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間
內，(1)如果
，那么函數
在這個區間單調遞增；(2)如果
，那么函數
在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在
附近的左側
,右側
,那么
是極大值（2）如果在附近的左側,右側
,那么
是極小值才能得出正確答案．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點
，其離心率為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）直線
與
相交于
兩點，在
軸上是否存在點
，使
為正三角形，若存在，求直線
的方程；若不存在，請說明理由.
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】宿州某中學N名教師參加“低碳節能你我他”活動，他們的年齡在25歲至50歲之間，按年齡分組：第1組[25，30），第2組[30，35），第3組[35，40），第4組[40，45），第5組[45，50），得到的頻率分布直方圖如圖所示． 
下表是年齡的頻數分布表：
區間 | [25，30） | [30，35） | [35，40） | [40，45） | [45，50] |
人數 | 25 | m | p | 75 | 25 |
（1）求正整數m，p，N的值；
（2）用分層抽樣的方法，從第1、3、5組抽取6人，則第1、3、5組各抽取多少人？
（3）在（2）的條件下，從這6人中隨機抽取2人參加學校之間的宣傳交流活動，求恰有1人在第3組的概率．
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1 ， x2且f（x1）=x1 ， 則關于x的方程3[（f（x）]2+2af（x）+b=0的不同實根個數為（ ）
A.2
B.3
C.4
D.不確定
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，f（x+2）=f（x），當x∈（0，1]時，f（x）=1﹣2|x﹣ 
|，則函數g（x）=f[f（x）]﹣ 
x在區間[﹣2，2]內不同的零點個數是（ ）
A.5
B.6
C.7
D.9
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下表是某廠的產量x與成本y的一組數據：
產量x（千件） | 2 | 3 | 5 | 6 |
成本y（萬元） | 7 | 8 | 9 | 12 |
（Ⅰ）根據表中數據，求出回歸直線的方程 
= 
x 
（其中 = 
， 
= 
﹣ 
）
（Ⅱ）預計產量為8千件時的成本．
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
