Question

已知二次函數f（x）滿足f（-1）=0，且x≤f（x）≤

1

2

（x²+1）對一切實數x恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析表達式；
（3）證明：

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(n)

＞2．

Answer 1

分析：（1）利用不等式的求f（1）的值．（2）利用待定系數法求函數的解析式．（3）利用放縮法證明不等式．

解答：解：（1）因為x≤f（x）≤

1

2

（x²+1）對一切實數x恒成立．
所以當x=1時，有1≤f（1）≤

1

2

（1+1）=1，
所以f（1）=1．
（2）設二次函數f（x）=ax²+bx+c，a≠0，
因為f（1）=1，f（-1）=0，
所以a+c=b=

1

2

．
因為f（x）≥x對一切實數x恒成立，
即ax²+（b-1）x+c≥0，所以必有

a＞0 △=(b-1)2-4ac≤0

，解得a＞0，ac≥

1

16

，所以c＞0．
因為a+c≥2

ac

=

1

2

，當且僅當a=c=

1

4

取等號，
所以f(x)=

1

4

(x+1)2．
（3）因為

1

f(n)

=

4

(n+1)2

＞

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，
所以

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(n)

＞4(

1

2

-

1

n+2

)＞4×

1

2

=2．
故不等式

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(n)

＞2成立．

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質以及利用放縮法證明不等式，綜合性較強．