Question

【題目】已知橢圓E:過點(0,1)且離心率.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設動直線l與兩定直線l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分別交于P,Q兩點.若直線l總與橢圓E有且只有一個公共點,試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)y2=1 (Ⅱ)存在,最小值為1

【解析】

(Ⅰ)由題意可得，根據離心率及間的關系即可求解 (Ⅱ)當直線l的斜率不存在時，易知S△OPQ，當直線l的斜率存在時,設直線l:y=kx+m,k≠±1，根據點到直線的距離公式和三角形面積公式，借助函數的性質即可求出.

(Ⅰ)由已知得b=1,,a2=b2+c2,

解得a,b=c=1,

所以橢圓的E方程為y2=1,

(Ⅱ)當直線l的斜率不存在時,直線l為x或x,

都有:S△OPQ22.

當直線l的斜率存在時,設直線l:y=kx+m,k≠±1,

由,消去y,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,

∴△=﹣8m2+8+16k2,由題可知,△=0,有m2=2k2+1,

又 可得P(,);同理可得Q(,).

由原點O到直線PQ的距離為d和|PQ|=2|m|,

可得S△OPQd|PQ|=||,

∵m2=2k2+1,

∴S△OPQ,

當1﹣k2<0,即k>1或k<﹣1時,S△OPQ22,

當1﹣k2>0,即﹣1<k<1時,S△OPQ2,

因為0<1﹣k2≤1,

所以3,

所以S△OPQ21,當且僅當k=0時等號成立.

綜上,當k=0時,△OPQ的面積存在最小值為1.