Question

過點P(-2,-3)作圓C:(x-4)²+(y-2)²=9的兩條切線,切點分別為A、B.求:
(1)經過圓心C,切點A、B這三點的圓的方程;
(2)直線AB的方程;
(3)線段AB的長.

Answer 1

(1) 圓的方程x²+y²-2x+y-14="0."
(2)兩個圓的公共弦所在直線. 6x+5y-25=0.
(3) |AB|=2|AQ|=.

(1)如圖所示,連結CA、CB.由平面幾何知, CA⊥PA,CB⊥PB.這些點P、A、C、B共圓,且CP為直徑.這也是過三點A、B、C的圓.
∵P(-2,-3),圓心坐標為C(4,2),?
∴所求圓的方程為(x+2)(x-4)+(y+3)( y-2)=0,即x²+y²-2x+y-14=0.
(2)直線AB即為這兩個圓的公共弦所在直線.
由x²+y²-2x+y-14=0與(x-4)²+(y-2)²=9相減,得6x+5y-25=0.
(3)設AB、PC交于點Q,
則,
.
在Rt△PCA中,因為AQ⊥PC,由平面幾何知.
|AB|=2|AQ|=.