Question

一圓和直線l:x+2y－3=0切于點P(1，1)，且半徑為5，求這個圓的方程.

Answer 1

或

利用直線與圓相切列方程，求出方程中的常參數.
解法一:設圓心坐標為C(a,b)，
圓方程即為(x－a)²+(y－b)²=25.
∵點P(1，1)在圓上，
則(1－a)²+(1－b)²="25.                                                                                           " ①
又l為圓C的切線，
則CP⊥l,∴="2.                                                                                              " ②
聯立①②解得或
即所求圓的方程是(x－1－)²+(y－1－2)²=25
或(x－1+)²+(y－1+2)²=25.
解法二:設圓方程為(x－a)²+(y－b)²=25,
過P(1，1)的切線方程是(1－a)(x－a)+(1－b)(y－b)=25.
整理得(1－a)x+(1－b)y－［a(1－a)+b(1－b)+25］=0.
這就是已知直線l的方程,
即==.
解得或
即得圓方程.
注:當然還有很多方法，比如利用圓的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0來求解也可.