Question

【題目】如圖，在四棱錐S ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四邊形ABCD為正方形，且點P為AD的中點，點Q為SB的中點．

(1)求證：CD⊥平面SAD．

(2)求證：PQ∥平面SCD．

(3)若SA＝SD，點M為BC的中點，在棱SC上是否存在點N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）見解析(3)存在點N為SC中點,使得平面DMN⊥平面ABCD.

【解析】

試題分析：(1)由四邊形為正方形可得,再根據面面垂直的性質定理即可得結論；(2)取的中點，連,由中位線定理可得，從而可得四邊形為平行四邊形，所以，進而根據線面平行的判定定理可得結論；(3) 存在點為中點,使得平面平面，先證明，再證明平面，可得平面, 面面垂直的判定定理即可得結論.連接 交于點，連接.

試題解析：(1)因為四邊形ABCD為正方形,則CD⊥AD.

又平面SAD⊥平面ABCD，

且面SAD∩面ABCD=AD，

所以CD⊥平面SAD.

(2)取SC的中點R，連QR，DR.

由題意知：PD∥BC且PD=12BC.

在△SBC中，Q為SB的中點，R為SC的中點，

所以QR∥BC且QR=12BC.

所以QR∥PD且QR=PD，

則四邊形PDRQ為平行四邊形.

所以PQ∥DR.又PQ平面SCD，DR平面SCD，

所以PQ∥平面SCD.

(3)在點N為SC中點,使得平面DMN⊥平面ABCD.

連接PC、DM交于點O，連接PM、SP，

因為PD∥CM，并且PD=CM，

所以四邊形PMCD為平行四邊形，所以PO=CO.

又因為N為SC中點，

所以NO∥SP.

因為平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，并且SP⊥AD，

所以SP⊥平面ABCD，

所以NO⊥平面ABCD,

又因為NO平面DMN，

所以平面DMN⊥平面ABCD.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的性質定理及判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（2）是就是利用方法①證明的.