Question

【題目】已知函數（為常數，）.

（1）討論函數的單調區間；

（2）當時，若函數在（，是自然對數的底數）上有兩個零點，求的最小值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）函數的定義域為R，由，得. ...............2分

①當時，對都有，當變化時，，的變化如下表：

		0
	+	0	_
	增	極大值	減

此時，的遞增區間為，遞減區間為. ................4分

②當時，.由，得或.當變化時，，的變化如下表：

		0
	+	0	-	0	+
	增	極大值	減	極小值	增

此時，的遞增區間為，，遞減區間為.

③當時，.此時，的遞增區間為，無減區間. .....6分

④當時，.由，得或.當變化時，，的變化如下表：.

				0
	+	0	-	0	+
	增	極大值	減	極小值	增

此時，的遞增區間為，，遞減區間為.

綜上所述，當時，的遞增區間為，遞減區間為；

當時，的遞增區間為，，遞減區間為；

當時，的遞增區間為，無減區間；

當時，的遞增區間為，，遞減區間為. ……8分

(2)當時，.由（1）可知，在上為增函數，

且的極大值為，所以在上有一個零點.

由，且在上為減函數，則必有. ................9分

要想函數在上還有一個零點，同時考慮到函數在上為增函數，

則只需，且.又因為，

且

，

所以當時，函數在還有一個零點，則的最小值為2. ................12分

綜上所述，若在上有兩個零點時，的最小值為2. ……13分