Question

在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側面BB₁C₁C⊥底面ABC．
（1）若D是BC的中點，求證：AD⊥CC₁；
（2）過側面BB₁C₁C的對角線BC₁的平面交側棱于M，若AM=MA₁，求證：截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，且D是BC的中點得到AD⊥BC，再由側面BB₁C₁C⊥底面ABC，結合面面垂直的性質得到AD⊥側面BB₁C₁C．從而證得答案；
（2）由AM=MA₁，可想到延長B₁A₁與BM交于N，連結C₁N，由中位線知識結合已知得到A₁C₁=A₁N=A₁B₁，∴C₁N⊥C₁B₁，然后由面面垂直的性質及判定得答案．

解答：證明：（1）如圖，
∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，
∵底面ABC⊥平面BB₁C₁C，
由兩面垂直的性質，∴AD⊥側面BB₁C₁C．
又CC₁?面BB₁C₁C，∴AD⊥CC₁；                                                          
（2）延長B₁A₁與BM的延長線交于N，連結C₁N，
∵AM=MA₁，且MA₁∥BB₁，∴NA₁=A₁B₁，
∵AB=AC，∴A₁B₁=A₁C₁，∴A₁C₁=A₁N=A₁B₁，
∴A₁為△B₁C₁N外接圓的圓心，
∴C₁N⊥C₁B₁，
∵底面NB₁C₁⊥側面BB₁C₁C，
由面面垂直的性質，∴C₁N⊥側面BB₁C₁C，
∴截面C₁NB⊥側面BB₁C₁C，∴截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C．

點評：本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了直線與平面垂直的性質，解答此題的關鍵在于充分利用了中點，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．