Question

在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側面BB₁C₁C⊥底面ABC．
（Ⅰ）若D是BC的中點，求證：AD⊥CC₁；
（Ⅱ）過側面BB₁C₁C的對角線BC₁的平面交側棱于M，若AM=MA₁，求證：截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C；
（Ⅲ） AM=MA₁是截面MBC₁⊥平面BB₁C₁C的充要條件嗎？請你敘述判斷理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）2個平面垂直，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面，可證AD⊥BB₁C₁C．
（Ⅱ）延長B₁A₁與BM交于N，連接C₁N，可證C₁N⊥C₁B₁，由截面NB₁C₁⊥側面BB₁C₁C，可得 C₁N⊥側面BB₁C₁C，
進而證明截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C．
（Ⅲ）結論是肯定的，充分性已由（2）證明．必要性的證明：過M作ME⊥BC₁于E，可證ME⊥側面BB₁C₁C，
AM∥DE，E是BC₁的中點，AM=DE=

1

2

CC₁=

1

2

AA₁．故必要性成立．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC．∵底面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AD⊥側面BB₁C₁C．∴AD⊥CC₁．

（Ⅱ）解：延長B₁A₁與BM交于N，連接C₁N．
∵AM=MA₁，∴NA₁=A₁B₁．∵A₁B₁=A₁C₁，
∴A₁C₁=A₁N=A₁B₁．∴C₁N⊥C₁B₁．
∵截面NB₁C₁⊥側面BB₁C₁C，∴C₁N⊥側面BB₁C₁C．
∴截面C₁NB⊥側面BB₁C₁C．∴截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C．

（Ⅲ）解：結論是肯定的，充分性已由（2）證明，
下面證必要性：過M作ME⊥BC₁于E，∵截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C，
∴ME⊥側面BB₁C₁C．    又∵AD⊥側面BB₁C₁C，
∴ME∥AD．
∴M，E，A，D共面．
∵AM∥側面BB₁C₁C，∴AM∥DE．
∵CC₁∥AM，∴DE∥CC₁．
∵D是BC的中點，
∴E是BC₁的中點．
∴AM=DE=

1

2

CC₁=

1

2

AA₁．
∴AM=MA₁．

點評：利用線面垂直，證明線線垂直；通過在一個面內找一條線和另一個面垂直，來證明面面垂直．