Question

在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側面BB₁C₁C⊥底面ABC．D為BC的中點，M為AA₁的中點．
（1）求證：AD∥平面MB₁C；
（2）求證：平面MB₁C⊥側面BB₁C₁C．

Answer 1

分析：（1）取B₁C的中點為N，連接MN、DN，所以可得ND∥B₁B，并且ND=

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B1B，結合題意得到：ND∥AM，并且ND=AM，所以四邊形MNDA為平行四邊形，所以AD∥NM，即可得線面平行．
（2）由題意可得：AD⊥BC．所以由面面垂直的性質定理可得：AD⊥側面BB₁C₁C，由（1）可得AD∥NM，所以MN⊥側面BB₁C₁C，進而得到面面垂直．

解答：證明：（1）取B₁C的中點為N，連接MN、DN，
又因為D為BC 的中點，
所以ND∥B₁B，并且ND=

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B1B，
因為M為AA₁的中點，
所以AM∥B₁B，并且AM=

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B1B．
可得ND∥AM，并且ND=AM，
所以四邊形MNDA為平行四邊形，
所以AD∥NM，
所以AD∥平面MB₁C．
（2）因為AB=AC，并且D為BC的中點，
所以AD⊥BC．
又因為側面BB₁C₁C⊥底面ABC，側面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，AD?平面ABC，
所以AD⊥側面BB₁C₁C，
由（1）可得AD∥NM，
所以MN⊥側面BB₁C₁C，
又因為MN?平面MB₁C，
所以平面MB₁C⊥側面BB₁C₁C．

點評：主要考查利用線線平行，證明線面平行；以及通過在一個面內找到一條直線和另一個面垂直，進而來證明面面垂直．