Question

已知函數，

（Ⅰ）若，求函數的極值；

（Ⅱ）設函數，求函數的單調區間；

（Ⅲ）若在區間（）上存在一點，使得成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）1 ;（Ⅱ）參見解答 ;(Ⅲ)＞或

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用函數 的導函數 來研究的單調性,進一步求極值. （Ⅱ）構造函數 通過導函數 來研究的單調性,（Ⅲ）注意運用第（Ⅱ）問產生的單調性結論來研究函數 在區間 上的增減性,判斷函數值取得負值時 的取值范圍,尤其注意在時不成立的證明,

試題解析：（Ⅰ）當 時，  ，定義域為，

，當時，；當時，.

所以單調減區間為；單調增區間為，

故時，有極小值，極小值為1.                                  3分

（Ⅱ），則

，                4分

因為所以令得.

若，即，則恒成立，則在上為增函數；

若，即，則時，，時，

所以此時單調減區間為；單調增區間為                   7分

(Ⅲ)由第（Ⅱ）問的解答可知只需在上存在一點，使得.

若時，只需,解得,又,所以滿足條件. 8分

若,即時，同樣可得,不滿足條件.             9分

若，即時，在處取得最小值，            10分

令，

即，所以                         11分

設，考察式子,由,所以左端大于1,而右端小于1，所以不成立.

當，即時，在上單調遞減，只需得

＞，又因為，所以，＞或    12分

考點：導數運算及運用導數研究函數的性質.