Question

(本小題滿分12分)

已知焦點在軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線對稱．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，另一直線經過M（－2，0）及AB的中點，求直線在軸上的截距b的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，則kx-y=0

∵該直線與圓相切，∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．

故設雙曲線C的方程為．

又雙曲線C的一個焦點為，∴，．

∴雙曲線C的方程為:.

（2）由得．令

∵直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f(x)=0在上有兩個不等實根．

因此，解得又AB中點為，∴直線l的方程為：． 令x=0，得．∵，∴，∴.

考點：本題考查雙曲線的標準方程；雙曲線的性質；直線與雙曲線的綜合應用；二次函數在某區間上的值域。

點評：研究直線與雙曲線的綜合問題，通常的思路是：轉化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與雙曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數、與交點坐標有關的問題）轉化為一元二次方程根的問題，結合根與系數的關系及判別式解決問題。