Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角表，俯視圖為直角梯形．
（Ⅰ）求證：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）求直線C₁N與平面CNB₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由三視圖和垂直關系以B為原點，以BA，BB₁，BC分別為xyz軸建立坐標系，可得點的坐標，可得∴

BN

和

B1N

以及

C1N

的坐標，由數量積為0可判垂直，由線面垂直的判定定理可得；（2）由數量積為0可得平面CNB₁的法向量

n

=（1，1，2），設C₁N與平面CNB₁所成的角為θ，則sinθ=

| C1N • n |

| C1N || n |

，代值計算可得．

解答： （1）由三視圖可知BC⊥面ABB₁N，
以B為原點，以BA，BB₁，BC分別為xyz軸建立坐標系，
可得B（0，0，0），A（4，0，0），N（4，4，0）B₁（0，8，0），C（0，0，4），C₁（0，8，4），
∴

BN

=（4，4，0），

B1N

=（4，-4，0），

C1N

=（4，-4，-4）
∴

BN

•

B1N

=0，

BN

•

C1N

=0，又∵B₁N∩C₁N=N，
∴BN⊥平面C₁B₁N
（2）設平面CNB₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n

•

CN

=4x+4y-4z=0，且

n

•

CB1

=8y-4z=0，
取y=1，可得z=2，x=1，∴

n

=（1，1，2），
設C₁N與平面CNB₁所成的角為θ，則sinθ=

| C1N • n |

| C1N || n |

=

2

3

，
∴直線C₁N與平面CNB₁所成角的正弦值為

2

3

點評：本題考查線面角和線面垂直的判定，涉及三視圖，建系是解決問題的關鍵，屬中檔題．