Question

已知f（x）=x²-2ax-8a²（a∈R），則下列四個結論：
①y=f（x）的最小值為-9a²．
②對任意兩實數x₁、x₂，都有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

．
③不等式f（x）＜0的解集是（-2a，4a）．
④若f（x）＞x-9a²恒成立，則實數a能取的最大整數是-1．
基中正確的是

 

（多填、少填、錯填均得零分）．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據二次函數的性質，求出最小值，利用作差法比較f（

x1+x2

2

）和

f(x1)+f(x2)

2

的大小，利用不等式的解法，求解集，利用不等式恒成立的條件，函數的最小值大于x-9a²，求出即可．

解答： 解：∵f（x）=x²-2ax-8a²=（x-a）²-9a²，
∴y=f（x）的最小值為-9a²．
∵f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

=(

x1+x2

2

)2-2a•

x1+x2

2

-8a2-

1

2

（x₁²-2ax₁-8a²+x₂²-2ax₂-8a²）
=-(

x1-x2

2

)2≤0．
∴對任意兩實數x₁、x₂，都有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

．
∵x²-2ax-8a²＜0，即（x+2a）（x-4a）＜0，
∴當a＞0時，解集是（-2a，4a）．當a＜0時，解集是（4a，-2a），當a=0時，解集為空集．
∵f（x）＞x-9a²恒成立，則-9a²＞x-9a²，即x＜0，
∴f（x）＞x-9a²恒成立，則實數a能取的最大整數是-1．
故其中正確的是①②④．
故答案為：①②④

點評：本題主要考查了二次函數的性質，有關二次函數的最值，不等式的解法，屬于中檔題．