Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知、分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于直線于點，線段的中垂線交于點.記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程，并說明是什么曲線；

（2）若直線與曲線交于兩點、，則在圓上是否存在兩點、，使得，？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；是以為焦點，為準線的拋物線（2）存在；

【解析】

（1）根據題意可得，再根據拋物線的定義即可求出曲線的方程.

（2）將直線與曲線：聯立，由直線與曲線交于點，，，利用韋達定理可得，從而求出的中垂線方程，由，，可得的中垂線與圓交于兩點、，利用點到直線的距離公式使圓心到直線的距離小于半徑即可求解.

（1）由題意，得，則動點的軌跡是以為焦點，

為準線的拋物線，所以點的軌跡的方程為.

（2）由得.

由直線與曲線交于點，，

得，解得.

由韋達定理，得.

設的中點為，

則，，

即，

所以的中垂線方程為，即，

由，，得的中垂線與圓交于兩點、，

所以，解得.

由①和②，得.

綜上，當時，圓上存在兩點、，使得，.