Question

【題目】對任意實數，定義函數，已知函數，，記.

（1）若對于任意實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（2）若，且，求使得等式成立的的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，求在區間上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）答案不唯一，具體見解析

【解析】

(1)由題意恒成立,再利用二次函數恒成立的性質求解即可.

(2)由題,再分和兩種情況討論即可.

(3) 由(2)知,且,再分段與分參數的取值范圍情況討論即可.

解：（1）據題意知,恒成立,

即有對于任意的恒成立.

∴由得,∴.

（2）∵,

∴,

又由知,,

∴,

∴有時,.

①當時,,

∴,

又,∴.

②當時,,

∴,

∵,∴,

∴上式不成立.

綜上①②知,使等式成立的的取值范圍是.

（3）由（2）知,且

∴

∴當時,,∴.

當時,,

①當時,又,即時,

；

②當時,即時,；

∴綜上知,.

由時,；

由無實數解；

由時,.