Question

已知函數f(x)=-x²+8x,g(x)=6lnx+m.

(1)求f(x)在區間［t,t+1］上的最大值h(t);

(2)是否存在實數m，使得y=f(x)圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

解:(1)f(x)=-x²+8x=-(x-4)²+16.

當t+1＜4,即t＜3時，f(x)在［t,t+1］上單調遞增，

h(t)=f(t+1)=-(t+1)²+8(t+1)=-t²+6t+7;

當t≤4≤t+1,即3≤t≤4時，h(t)=f(4)=16;

當t＞4時，f(x)在［t,t+1］上單調遞減，

h(t)=f(t)=-t²+8t.

綜上，h(t)=

(2)函數y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，即函數

（x）=g(x)-f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點.

∵(x)=x²-8x+6lnx+m,

∴′(x)=2x-8+==(x＞0),

當x∈(0,1)時，′(x)＞0,(x)是增函數；

當x∈(0,3)時，′(x)＜0,(x)是減函數；

當x∈(3,+∞)時，′(x)＞0,(x)是增函數；

當x=1,或x=3時，′(x)=0.

∴(x)_最大值=(1)=m-7,(x)_最小值=(3)=m+6ln3-15.

∵當x充分接近0時，(x)＜0,當x充分大時，(x)＞0.

∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只需

即7＜m＜15-6ln3.

所以存在實數m，使得函數y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為（7，15-6ln3）.