Question

已知兩個(gè)橢圓的方程分別是
C₁：x²+9y²-45=0，
C₂：x²+9y²-6x-27=0、
（1）求這兩個(gè)橢圓的中心、焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過這兩個(gè)橢圓的交點(diǎn)且與直線x-2y+11=0相切的圓的方程．

Answer 1

（1）把C₁的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，
得C₁：

x2

45

+

y2

5

=1∴a=3

5

，b=

5

，c=2

10

．
可知橢圓C₁的中心是原點(diǎn)，
焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(2

10

，0)，(-2

10

，0)
把C₂的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，
得C₂：

(x-3)2

36

+

y2

4

=1∴a=6，b=2，c=4

2

．
可知橢圓C₂的中心坐標(biāo)是（3，0），
點(diǎn)坐標(biāo)分別(3+4

2

，0)，(3-4

2

，0)
（2）解方程組

x2+9y2-45=0 x2+9y2-6x-27=0

解得

x=3 y=2

或

x=3 y=-2

所以兩橢圓C₁，C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)是A（3，2），B（3，-2）
設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0、
因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在圓上，所以有

3D+2E+F+13=0 3D-2E+F+13=0

解得E=0，F(xiàn)=-3D-13
從而所求圓的方程為x²+y²+Dx-3D-13=0
由所求圓與直線x-2y+11=0相切，可知方程x2+(

x+11

2

)2+Dx-3D-13=0即5x²+（22+4D）x-12D+69=0的判別式為0
就是D²+26D-56=0解得D=2，或D=-28
從而所求圓的方程是x²+y²+2x-19=0，或x²+y²-28x+71=0、