Question

已知兩個橢圓的方程分別是
C₁：x²+9y²-45=0，
C₂：x²+9y²-6x-27=0、
（1）求這兩個橢圓的中心、焦點的坐標；
（2）求經過這兩個橢圓的交點且與直線x-2y+11=0相切的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）先把C₁的方程化為標準方程，根據橢圓的性質可知a，b的值，進而求得c的值．進而可得橢圓C₁的中心和焦點坐標；同樣把C₂的方程化為標準方程，根據橢圓的性質可知a，b的值，進而求得c的值．而可得橢圓C₁的中心和焦點坐標．
（2）把兩個橢圓方程聯立，可求得交點的坐標．設所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，把A，B兩點坐標代入聯立方程，即可求得E和F，再利用圓與直線x-2y+11=0相切求得D，進而可得所求圓的方程．

解答：解：（1）把C₁的方程化為標準方程，
得C₁：

x2

45

+

y2

5

=1∴a=3

5

，b=

5

，c=2

10

．
可知橢圓C₁的中心是原點，
焦點坐標分別是(2

10

，0)，(-2

10

，0)
把C₂的方程化為標準方程，
得C₂：

(x-3)2

36

+

y2

4

=1∴a=6，b=2，c=4

2

．
可知橢圓C₂的中心坐標是（3，0），
點坐標分別(3+4

2

，0)，(3-4

2

，0)
（2）解方程組

x2+9y2-45=0 x2+9y2-6x-27=0

解得

x=3 y=2

或

x=3 y=-2

所以兩橢圓C₁，C₂的交點坐標是A（3，2），B（3，-2）
設所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0、
因為A，B兩點在圓上，所以有

3D+2E+F+13=0 3D-2E+F+13=0

解得E=0，F=-3D-13
從而所求圓的方程為x²+y²+Dx-3D-13=0
由所求圓與直線x-2y+11=0相切，可知方程x2+(

x+11

2

)2+Dx-3D-13=0即5x²+（22+4D）x-12D+69=0的判別式為0
就是D²+26D-56=0解得D=2，或D=-28
從而所求圓的方程是x²+y²+2x-19=0，或x²+y²-28x+71=0、

點評：本題主要考查了橢圓的性質和橢圓與直線及圓的關系．考查了學生綜合運用所學知識解決問題的能力．