Question

（本小題滿分12分）

已知關于x的二次函數.

(I)設集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數在區間上是增函數的概率；

(II)設點(a，b)是區域內的一點，求函數在區間上是增函數的概率．

 

Answer 1

【答案】

(1)所求事件的概率為＝ ；(2) P＝.

【解析】本題主要考查了古典概型，掌握古典概型的計算步驟和計算公式是解答本題的關鍵，同時考查了分類的思想，屬于基礎題．

（1）這是一個古典概型問題，我們分別計算出滿足條件的基本事件個數，及基本事件的總個數，然后代入古典概型計算公式，即可求解．

（2）根據函數是增函數，得到試驗發生包含的事件對應的區域和滿足條件的事件對應的區域，做出面積，利用幾何概型計算公式得到結果．

(1)∵函數f(x)＝ax²－4bx＋1的圖象的對稱軸為直線x＝，要使f(x)＝ax²－4bx＋1在區間[1，＋∞)上為增函數，當且僅當a＞0且≤1，即2b≤a.(2分)

若a＝1，則b＝－1；若a＝2，則b＝－1或1；若a＝3，則b＝－1或1.

∴事件包含基本事件的個數是1＋2＋2＝5.(5分)

∴所求事件的概率為＝ (6分)

(2)由(1)，知當且僅當2b≤a且a＞0時，函數f(x)＝ax²－4bx＋1在區間[1，＋∞)上為增函數，(8分)

依條件可知事件的全部結果所構成的區域為，構成所求事件的區域為三角形部分．由得交點坐標為，(10分)

∴所求事件的概率為P＝.(12分)