Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足Sn=2﹣an ， n=1，2，3，…．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{bn}滿足b1=1，且bn+1=bn+an ， 求數列{bn}的通項公式；
（3）設cn= ，數列{cn}的前n項和為Tn= ．求n．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，S1=a1=2﹣a1，所以a1=1．

當n≥2時，Sn﹣1=2﹣an﹣1，且Sn=2﹣an，

所以an=2（2﹣an）﹣（2﹣an﹣1）得：an= an﹣1，

則數列{an}是以1為首項， 為公比的等比數列，

∴數列{an}的通項公式是an=（ ）n﹣1

（2）解：由bn+1=bn+an，且an=（ ）n﹣1，

∴bn+1﹣bn=（ ）n﹣1，

則b2﹣b1=（ ）0，b3﹣b2=（ ）1，b4﹣b3=（ ）2，…，bn﹣bn﹣1=（ ）n﹣2，

以上n個等式疊加得：bn﹣b1=（ ）0+（ ）1+（ ）2+…+（ ）n﹣2= =2[1﹣（ ）n﹣1]

=2﹣ ，

∵b1=1，

∴bn=3﹣

（3）解：由題意知 ．

則Tn=4﹣ = ，

∵Tn+1﹣Tn=（4﹣ ）﹣（4﹣ ）= ﹣ = ＞0，

∴Tn＜Tn+1恒成立，

∵T6=4﹣ = ，

∴n=6．

【解析】（1）由已知條件推導出{an}是以1為首項， 為公比的等比數列，由此能求出數列{an}的通項公式．（2）由bn+1=bn+an ， 且an=（ ）n﹣1 ． 知bn+1﹣bn=（ ）n﹣1 ， 由此利用疊加法能求出bn=3﹣ ．（3）根據已知條件推知Tn+1﹣Tn=（4﹣ ）﹣（4﹣ ）= ﹣ = ＞0，所以求得shiftTn＜Tn+1恒成立的n的值即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．