Question

【題目】已知a+b=1，對a，b∈（0，+∞）， + ≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，
（1）求 + 的最小值；
（2）求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a＞0，b＞0且a+b=1

∴ = ，

當且僅當b=2a時等號成立，又a+b=1，即 時，等號成立，

故 的最小值為9．

（2）解：因為對a，b∈（0，+∞），使 恒成立，

所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，

當 x≤﹣1時，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，

當 時，﹣3x≤9，∴ ，

當 時，x﹣2≤9，∴ ，∴﹣7≤x≤11．

【解析】（1）利用“1”的代換，化簡 + ，結合基本不等式求解表達式的最小值；（2）利用第一問的結果．通過絕對值不等式的解法，即可求x的取值范圍．
【考點精析】掌握基本不等式在最值問題中的應用是解答本題的根本，需要知道用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”．