Question

已知以原點O為中心，F（，0）為右焦點的雙曲線C的離心率。

（1）求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；
（2）如圖，已知過點M（x₁，y₁）的直線l₁：x₁x+4y₁y=4與過點N（x₂，y₂）（其中x₂≠x₁）的直線l₂：x₂x+4y₂y=4的交點E在雙曲線C上，直線MN與雙曲線的兩條漸近線分別交于G，H兩點，求的值。

Answer 1

解：（1）設C的標準方程為（a，b>0）， 則由題意， 又 因此a=2， C的標準方程為 C的漸近線方程為 即x-2y=0和x+2y=0。
（2）如圖，由題意點E（xE，yE）在直線l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上， 因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4， 故點M，N均在直線xEx+4yEy=4上， 因此直線MN的方程為xEx+4yEy=4 設G，H分別是直線MN與漸近線x-2y=0及x+2y=0的交點， 由方程組及 解得， 故 因為點E在雙曲線上，有 所以。