Question

如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處.從A、B到直線l(庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為a和b，CD的長為c，AB的長為d.求庫底與水壩所成二面角的余弦值.

Answer 1

思路解析：所求二面角的平面角就是圖中直線AC、BD所成的角.因此，利用向量的數量積求出這個角.

解：如題圖，AC=a,BD=b,CD=c,AB=d.

根據向量的加法法則，=++.

d²==(++)²=a²+c²+b²+2·

＝a²+c²+b²-2·.

于是，得2·=a²+c²+b²-d².

設向量與的夾角為θ，θ就是庫底與水壩所成的二面角.

因此2abcosθ=a²+c²+b²-d²，

所以cosθ=

即庫底與水壩所成的二面角的余弦值為

方法歸納  立體幾何中的夾角，都可以轉化為兩個向量的夾角.向量u和v的夾角θ滿足關系式cosθ=.立體幾何中有關夾角問題，經常用空間向量的數量積解決.