Question

（本小題滿分12分）
如圖橢圓：的兩個焦點為、和頂點、構成面積為32的正方形.

（1）求此時橢圓的方程；
（2）設斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點、、為的中點，且. 問：、兩點能否關于直線對稱. 若能，求出的取值范圍；若不能，請說明理由.

Answer 1

(1) . (2) 當時，、兩點關于過點、的直線對稱.

解析試題分析：由已知可得且，所以.
所求橢圓方程為.
②設直線的方程為，代入，
得.
由直線與橢圓相交于不同的兩點知，
.   ②
要使、兩點關于過點、的直線對稱，必須.
設、，則，.
，，
解得.  ③
由②、③得，，
，.  或.
故當時，、兩點關于過點、的直線對稱.
考點：本試題考查了橢圓的知識。
點評：解決該試題關鍵是對于橢圓方程的求解，要運用其性質來得到關于a,b,c的關系式來得到結論，而對于直線與橢圓的位置關系的考查，要聯(lián)立方程組，結合韋達定理和判別式來期間誒得到范圍，屬于中檔題。