Question

已知函數f(x)=.

（1）求圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、與x軸的交點坐標；

（2）求函數的單調區間、最值和零點；

（3）設圖象與x軸相交于(x₁,0)、(x₂,0)，不求出根，求|x₁-x₂|；

（4）已知f(-)=，不計算函數值，求f(-);

（5）不計算函數值，試比較f(-)與f(-)的大小；

（6）寫出使函數值為負數的自變量x的集合.

Answer 1

思路解析：討論二次函數的性質一般要明確其圖象的開口方向、對稱軸、頂點、與x軸的交點，求頂點可以用配方法，也可以直接用頂點公式(-,)，求與x軸的交點可借助配方法或直接使用求根公式x=(b²-4ac≥0).畫函數圖象時，一般要標注對稱軸、頂點、與x軸的交點.下面我們選用配方法解答本題.

解：y=-x²-3x-

=- (x²+6x+5)

=- (x²+6x+9-9+5)

=-［(x+3)²-4］

=- (x+3)²+2.

令y=0，得(x+3)²=4.

∴x₁=-5,x₂=-1.

（1）開口向下，對稱軸為直線x=-3，頂點坐標為(-3,2)，與x軸的交點為(-5,0),(-1,0).

（2）單調增區間為(-∞,-3)，單調減區間為(-3,+∞)，有最大值為2，無最小值，零點為-5，-1.

（3）x₁、x₂是方程-x²-3x-=0，即方程x²+6x+5=0的兩個根，由根與系數的關系得x₁+x₂=-6,x₁x₂=5.

∴|x₁-x₂|=

（4）∵對稱軸x=-3，∴f(-3+x)=f(-3-x).∴f(-)=f(-3+)=f(-3-)=f(-)=.

（5）f(-)=f(-3-)=f(-3+)=f(-)，

∵-、-∈(-3,+∞)，而f(x)在(-3,+∞)上是減函數，且-＞-，

∴f(-)＜f(-)，即f(-)＜f(-).

（6）{x|x＜-5或x＞-1}.