Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓兩焦點坐標為，，橢圓上的點到右焦點距離最小值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設斜率為-2的直線交曲線于、兩點，求線段的中點的軌跡方程；

（3）設經過點的直線與曲線相交所得的弦為線段，求的面積的最大值（是坐標原點）.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ，；(3)

【解析】

（1）根據題意得到，，計算得到答案.

（2））設，，，設直線方程為，聯立方程得到，，得到軌跡方程.

（3）設直線的方程是：，代入方程得到，根據韋達定理得到，得到，計算得到面積最值.

（1）橢圓的焦點為，，，

由.，則，故曲線的方程為.

（2）設，，，設直線方程為，

，，，∴，

，則，則，

∴線段的中點的軌跡方程是：，，

（3）設直線的方程是：，，

代入得.

設，，，，

則，

令，，

當，即時∴，

的面積的最大值為.