Question

已知橢圓的離心率為，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁，且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于l₁，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）過橢圓C₁的左頂點A做直線m，與圓O相交于兩點R、S，若△ORS是鈍角三角形，求直線m的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由；（2分）
由直線
所以橢圓的方程是．（4分）
（2）由條件，知|MF₂|=|MP|．即動點M到定點F₂的距離等于它到直線l₁：x=-1的距離，由拋物線的定義得點M的軌跡C₂的方程是y²=4x． （8分）
（3）由（1），得圓O的方程是
設
得（10分）
則；
由．①（12分）
因為=
所以．②（13分）
由A、R、S三點不共線，知k≠0． ③
由①、②、③，得直線m的斜率k的取值范圍是（14分）
（注：其它解法相應給分）
分析：（1）先由離心率為 ，求出a，b，c的關系，再利用直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切，求出b即可求橢圓C₁的方程；
（2）把題中條件轉化為動點M的軌跡是以l₁：x=-1為準線，F₂為焦點的拋物線，即可求點M的軌跡C₂的方程；
（3）先設出點R，S的坐標，利用△ORS是鈍角三角形，求得，從而求出斜率k的取值范圍．
點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯立讓對應方程的判別式為0求解．