Question

已知定義域為R的函數f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函數．
（1）求a值；
（2）判斷并證明該函數在定義域R上的單調性；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數性質得f（0）=0，由此可求出a值，注意檢驗；
（2）利用函數單調性的定義即可判斷證明；
（3）利用函數的奇偶性、單調性可把去掉不等式中的符號“f”，從而轉化為具體不等式恒成立，從而可求k的范圍．

解答：解：（1）由題設，需f(0)=

-1+a

2

=0，
∴a=1，∴f(x)=

1-2x

1+2x

，
經驗證，f（x）為奇函數，∴a=1．
（2）f（x）在定義域R上是減函數．
證明：任取 x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
f(x2)-f(x1)=

1-2x2

1+2x2

-

1-2x1

1+2x1

=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴f（ x₂）-f（ x₁）＜0，即f（ x₂）＜f（ x₁），
∴該函數在定義域R上是減函數．
（3）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函數，∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（2）知，f（x）是減函數，∴原問題轉化為t²-2t＞k-2t²，
即3t²-2t-k＞0對任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

，
所以實數k的取值范圍是：k＜-

1

3

．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及不等式恒成立問題，定義是解決單調性問題的基本方法，而恒成立問題往往轉化為函數最值問題解決．