Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意的n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=bⁿ-1（b＞0且b≠1）的圖象上．
（1）求通項(xiàng)公式a_n；
（2）當(dāng)b=2時(shí)，記b_n=

n+1

4an

（n∈N^*）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出Sn=bn+r-1，從而得到a₁=s₁=b-1，a_n=S_n-S_n-1=（b-1）b^n-1，由此能求出an=(b-1)bn-1．
（2）當(dāng)b=2時(shí)，bn=

n+1

4an

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)（n，Sn ）在函數(shù)y=bⁿ-1的圖象上．
∴Sn=bn+r-1，…1分
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=b-1，…2分
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
=bⁿ+r-（b^n-1+r）=bⁿ-b^n-1=（b-1）b^n-1．…4分
∵n=1時(shí)也滿足，∴an=(b-1)bn-1．…6分
（2）當(dāng)b=2時(shí)，an=(b-1)bn-1=2^n-1，
bn=

n+1

4an

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

，…8分
則Tn=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

，①…10分

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，②…11分
①-②，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 ×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

，…13分
∴Tn=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

．…14分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．