Question

已知

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），函數f（x）=

a

•

b

+|

b

|²．
（1）求函數y=f（x）的周期和對稱軸方程；
（2）求函數y=f（x）的單調遞減區間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,平面向量數量積的運算,正弦函數的單調性

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由已知中已知

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），函數f（x）=

a

•

b

+|

b

|²，結合降次升角公式及和差角公式，將函數解析式化為正弦型函數，進而由正弦型函數的圖象和性質，求出函數y=f（x）的周期和對稱軸方程；
（2）由（1）中函數解析式及2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求出自變量x的取值范圍，可得函數y=f（x）的單調遞減區間．

解答： 解：（1）∵

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），
∴

a

•

b

=5

3

cosxsinx+2cos2x，|

b

|2=sin2x+4cos2x…（2分）
∴f(x)=5

3

cosxsinx+2cos2x+sin2x+4cos2x=5

3

cosxsinx+6cos2x+sin2x…（3分）
=

5 3

2

sin2x+5

1+cos2x

2

+1=

5 3

2

sin2x+

5cos2x

2

+

7

2

…（5分）
=5(sin2x•

3

2

+cos2x•

1

2

)+

7

2

=5sin(2x+

π

6

)+

7

2

…（6分）
∵ω=2，
∴T=

2π

2

=π；                     …（7分）
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，
得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z為對稱軸方程； …（9分）
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，得：
kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z…（12分）
所以函數的單調遞減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z…（13分）

點評：本題考查的知識點是兩角差的正弦函數公式，三角函數的周期性，對稱性及單調區間，是三角函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．