Question

已知函數f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定義，且在(0,+∞)上是增函數，f(1)=0,又g(θ)=sin²θ－mcosθ－2m,θ∈［0,］,設M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|f［g(θ)］<0},求M∩N.

Answer 1

M∩N={m|m>4－2}

∵f(x)是奇函數，且在(0,+∞)上是增函數，
∴f(x)在(－∞,0)上也是增函數.
又f(1)=0,∴f(－1)=－f(1)=0,從而，當f(x)＜0時，有x＜－1或0＜x＜1,
則集合N={m|f［g(θ)］＜θ＝={m|g(θ)＜－1或0＜g(θ)＜1,
∴M∩N={m|g(θ)＜－1.
由g(θ)＜－1,得cos²θ>m(cosθ－2)+2,θ∈［0,］,
令x=cosθ,x∈［0,1］得 x²>m(x－2)+2,x∈［0,1］，
令①: y₁=x²,x∈［0,1］及②y₂=m(m－2)+2,
顯然①為拋物線一段，②是過(2，2)點的直線系，
在同一坐標系內由x∈［0,1］得y₁>y₂.
∴m>4－2,故M∩N={m|m>4－2}.