Question

【題目】已知函數，其中e為自然對數的底數，函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數的值域為R，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)單調增區間為，單調減區間為.(2) .

【解析】試題分析：(1)求出函數的導數,解關于導函數的不等式,求出函數的單調區間即可;

(2)函數的導數,通過討論m的范圍得到函數的值域,從而確定m的具體范圍即可.

試題解析：（1）.

由得，由得.

所以函數的單調增區間為，單調減區間為.

（2）.

當時， ，所以在區間上單調遞減；

當時， ，所以在區間上單調遞增.

1° 當時， 在上單調遞減，值域為，

在上單調遞減，值域為，

因為的值域為R，所以，即.（*）

由（1）可知當時， ，故（*）不成立.

因為在上單調遞減，在上單調遞增，且，

所以當時， 恒成立，因此.

2° 當時， 在上單調遞減，在上單調遞增，

所以函數在上的值域為，即.

在（m，＋ ）上單調遞減，值域為.

因為的值域為R，所以，即.

綜合1°，2°可知，實數m的取值范圍是.