Question

【題目】已知函數，在原點處切線的斜率為，數列滿足為常數且，．

（1）求的解析式；

（2）計算，并由此猜想出數列的通項公式；

（3）用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）求出的導函數，由函數在原點處切線的斜率為可得，可求得的值，從而可得的解析式；（2）由函數解析式，可得遞推關系，根據遞推關系可依次求出的值，觀察前四項共同規律可猜測出數列的通項公式；（3）先驗證 時猜想成立，再假設 時猜想成立，只需證明 時，猜想也成立即可.

試題解析：（1）由已知得，，.

（2），則，

，，

由此猜想數列的通項公式應為．

（3）①當時，猜想顯然成立，

②假設時，猜想成立，即，

則當時，，

即當時，猜想成立．由①②知，對一切正整數都成立．