Question

已知拋物線C₁：x²=y，圓C₂：x²+（y-2）²=1的圓心為M，點P在拋物線C1上，設點P坐標（x，x²），且x≠0，x≠±1，過點P作圓C₂的兩條切線，并且分別交拋物線C₁于A、B兩點．
（1）設PA、PB的斜率分別為k₁、k₂，試求出k₁+k₂關于x的表達式；
（2）若時，求x的值；
（3）若x=-2，求證：直線AB與圓C₂相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）設過點P的切線方程：，由與圓C₂相切，知，由此能求出k₁+k₂關于x的表達式．
（2）設，，（x₁≠x₂）由，得，由此能求出當時，x的值；
（3）由k_AB=x₁+x₂，知當x=-2時，，k₁k₂=1，由此能夠證明AB與圓C₂相切．
解答：解：（1）由于x≠±1，知過P作圓M的切線，切線斜率存在，
設過點P的切線方程：，
即與圓C₂相切，
故有：，
整理得：．
依題意，k₁，k₂是上述方程的兩根，
故有．…（4分）
（2）設，，（x₁≠x₂）
由，
得，
又方程有一根為x，
則另一根為k-x，
∴x₁=k₁-x，x₂=k₂-x，
∴，
由（1）知，
又x≠0，所以，，
∴，
解得，
∴…（9分）
（3）證明：由（1），（2）知k_AB=x₁+x₂，
當x=-2時，，k₁k₂=1，
∴
=，
而，
即，
∴AB方程：4x-3y+1=0，
而圓C₂的圓心M（0，2），
點M到AB的距離是，
圓C₂的半徑為1，
∴AB與圓C₂相切．…（13分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用，具體涉及到拋物線和圓的簡單性質，根與系數的關系，點到直線的距離公式等基本知識．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．