Question

已知拋物線C₁：x²=2y的焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓C₂交C₁于A，B，交C₁的準(zhǔn)線于C，D，若四邊形ABCD是矩形，則圓C₂的方程為（　　）

• A、x2+(y-

  1

  2

  )2=3
• B、x2+(y-

  1

  2

  )2=4
• C、x²+（y-1）²=12
• D、x²+（y-1）²=16

Answer 1

分析：依題意知，圓C₂的圓心坐標(biāo)為F（0，

1

2

），且點(diǎn)F為該矩形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)，利用點(diǎn)F到直線CD的距離與點(diǎn)F到AB的距離相等可求得直線AB的方程為：y=

3

2

，
從而可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得圓C₂的半徑，于是可得答案．

解答：解：依題意，拋物線C₁：x²=2y的焦點(diǎn)為F（0，

1

2

），
∴圓C₂的圓心坐標(biāo)為F（0，

1

2

），
作圖如下：

∵四邊形ABCD是矩形，且BD為直徑，AC為直徑，F(xiàn)（0，

1

2

）為圓C₂的圓心，
∴點(diǎn)F為該矩形的兩條對角線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)F到直線CD的距離與點(diǎn)F到AB的距離相等，又點(diǎn)F到直線CD的距離d=1，
∴直線AB的方程為：y=

3

2

，
∴A（

3

，

3

2

），
∴圓C₂的半徑r=|AF|=

( 3 -0)2+( 3 2 - 1 2 )2

=2，
∴圓C₂的方程為：x²+(y-

1

2

)2=4，
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定，分析得到點(diǎn)F為該矩形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)是關(guān)鍵，考查作圖、分析與運(yùn)算能力，屬于難題．