Question

已知拋物線C₁：x²=y，圓C₂：x²+（y-4）²=1的圓心為點M
（Ⅰ）求點M到拋物線C₁的準線的距離；
（Ⅱ）已知點P是拋物線C₁上一點（異于原點），過點P作圓C₂的兩條切線，交拋物線C₁于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由題意拋物線C₁：x²=y，可以知道其準線方程為y=-

1

4

，有圓C₂：x²+（y-4）²=1的方程可以知道圓心坐標為（0，4），所求易得到所求的點到線的距離；
（II）由于已知點P是拋物線C₁上一點（異于原點），所以可以設出點P的坐標，利用過點P作圓C₂的兩條切線，交拋物線C₁于A，B兩點，也可以設出點A，B的坐標，再設出過P的圓C₂的切線方程，利用交與拋物線C₂兩點，聯立兩個方程，利用根與系數之間的關系整體得到兩切線的斜率的式子，有已知的MP⊥AB，得到方程進而求解．

解答：解：（I）由題意畫出簡圖為：
由于拋物線C₁：x²=y準線方程為：y=-

1

4

，圓C₂：x²+（y-4）²=1的圓心M（0，4），
利用點到直線的距離公式可以得到距離d=4-(-

1

4

)=

17

4

．
（II）設點P（x₀，x₀²），A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）；
由題意得：x₀≠0，x₂≠±1，x₁≠x₂，
設過點P的圓c₂的切線方程為：y-x₀²=k（x-x₀）即y=kx-kx₀+x₀²①
則

|kx0+4-x02|

1+k2

=1，即（x₀²-1）k²+2x₀（4-x₀²）k+（x₀²-4）²-1=0
設PA，PB的斜率為k₁，k₂（k₁≠k₂），則k₁，k₂應該為上述方程的兩個根，
∴k1+k2=

2x0 (x02-4)

x02-1

，k1•k2=

(x02-4)2-1

x02-1

；
代入①得：x²-kx+kx₀-x₀²=0 則x₁，x₂應為此方程的兩個根，
故x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀
∴k_AB=x₁+x₂=k₁+k₂-2x₀=

2x0(x02-4)

x02-1

-2x0，kMP=

x02-4

x0

 
由于MP⊥AB，∴k_AB•K_MP=-1?x02 =

23

5

 故P(±  

23 5

 ，

23

5

)∴直線l的方程為：y=±

3 115

115

x+4．

點評：此題重點考查了拋物線即圓的標準方程，還考查了相應的曲線性質即設出直線方程，利用根與系數的思想整體代換，進而解出點的坐標，理應直線與圓相切得到要求的直線方程．