Question

【題目】已知函數， ，其中a>1.

（I）求函數的單調區間；

（II）若曲線在點處的切線與曲線在點 處的切線平行，證明；

（III）證明當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)單調遞減區間，單調遞增區間為；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】分析：（I）由題意可得.令，解得x=0.據此可得函數的單調遞減區間，單調遞增區間為.

（II）曲線在點處的切線斜率為.曲線在點處的切線斜率為.原問題等價于.兩邊取對數可得.

（III）由題意可得兩條切線方程分別為l1： .l2： .則原問題等價于當時，存在， ，使得l1和l2重合.轉化為當時，關于x1的方程存在實數解，構造函數，令，結合函數的性質可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，據此可證得存在實數t，使得，則題中的結論成立.

詳解：（I）由已知， ，有.

令，解得x=0.

由a>1，可知當x變化時， ， 的變化情況如下表：

x		0
		0	+
		極小值

所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（II）由，可得曲線在點處的切線斜率為.

由，可得曲線在點處的切線斜率為.

因為這兩條切線平行，故有，即.

兩邊取以a為底的對數，得，所以.

（III）曲線在點處的切線l1： .

曲線在點處的切線l2： .

要證明當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線，

只需證明當時，存在， ，使得l1和l2重合.

即只需證明當時，方程組有解，

由①得，代入②，得. ③

因此，只需證明當時，關于x1的方程③存在實數解.

設函數，

即要證明當時，函數存在零點.

，可知時， ；

時， 單調遞減，

又， ，

故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.

由此可得在上單調遞增，在上單調遞減.

在處取得極大值.

因為，故，

所以.

下面證明存在實數t，使得.

由（I）可得，

當時，

有

，

所以存在實數t，使得

因此，當時，存在，使得.

所以，當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.