Question

【題目】已知函數，其中.

（1）討論函數的單調性；

（2）已知，，（）是函數圖像上的兩點，證明：存在，使得.

Answer 1

【答案】（1）當時，恒成立，所以在上單調遞減.當時，當 時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增；

（2）見解析.

【解析】

（1），分類討論函數的單調性；

（2），，

令，

則

令，討論其單調性可知 ，即.

從而，.

又，.

所以，.

因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，由零點存在性定理可得結論.

（1）因為，

所以，

當時，恒成立，所以在上單調遞減.

當時，，得

當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增.

（2）證明：，，

令，

則

令，則，

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

故當時，，即.

從而，.

又，.

所以，.

因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在，

使得，即存在，使得.