Question

【題目】已知函數f(x)＝|x－1|.

(I) 解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；

(II) 若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求證： ＞.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)

(II)證明見解析

【解析】

（１）根據的分段函數形式，分類討論求得不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集；（2）要證的不等式即，根據|a|＜1，|b|＜1，可得，從而得到所證的不等式成立。

(Ⅰ)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|＝

當x＜－3時，由－3x－2≥8，解得x≤ ；

當－3≤x＜ 時，－x＋4≥8無解；

當x≥時，由3x＋2≥8，解得x≥2.

所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集為

(II)證明：＞等價于f(ab)＞|a|，即|ab－1|＞|a－b|.

因為|a|＜1，|b|＜1，

所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，

所以|ab－1|＞|a－b|.故所證不等式成立．